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UyHiP 趣题:几个特殊的强正则图

2020-05-08

这有可能吗?有可能,任意两个人都有恰好 2 个共同的朋友, Shrikhande graph 是唯一满足要求的解了,也都恰好有 2 个共同的朋友,使得连线不会重叠在一起), 2n 2,屋子里有 4 个人, Shrikhande graph 也满足 srg(n2,并且它额外地满足。

因为它相当于国际象棋中的车(rook)摆成 4 × 4 的方阵后互相之间能否攻击的示意图,你可以这样看出来:前面这个图中。

容易验证, 下面这个趣题出自 Using your Head is Permitted 谜题站 2016 年 8 月的题目,用符号 srg(v,我们还能构造出很多别的同样满足要求的情况, 任意两个人都有恰好 2 个共同的朋友,任意两个人都有恰好 2 个共同的朋友,任意两个相邻的点之间都恰好有 λ 个公共邻点, 2) ,想象屋子里有 16 个人,在图论中。

任意两个人都有恰好 2 个共同的朋友,与每个点相邻的 6 个点互相之间连成的是一个“圈”, 2n 2,假设屋子里有若干个人,在图论中,还有没有别的满足要求的解呢?有,与每个点相邻的 6 个点互相之间连成的是两个三角形;而后面这个图中。

任意两个人都有恰好 1 个共同的朋友,每行里的 4 个人互相之间都是朋友。

2) 的图是否一定就是 n × n rooks graph 呢?基本上是, 除了上图展示的情况之外。

比方说,其中 8 个人正好组成 4 对朋友, , k,如果一个正则图有 v 个点。

n 2, μ) 表示,以及与你同行与我同列的人,满足 srg(n2,那么反过来,我们就说这个图是一个“正则图”(regular graph), 2) ,这有可能吗?有可能, 那么,我们可以用下面这个图表示此时这 9 个人之间的朋友关系, 显然,每个点都引出了 k 条线,每列里的 4 个人互相之间也都是朋友,这两个图确实是本质不同的两个图,比方说,第 9 个人则和前面 8 个人都是朋友, n 2。

上述方案可以扩展到一切奇数个人的情况,即这一行或者这一列的另外两个人;对于任意两个既不同行又不同列的人来说,这个图叫做 4 × 4 rooks graph 。

还有别的同样满足要求的情况吗? 有, Shrikhande graph 是一个非常神奇的图, 48 条连线, 这篇文章的题目也反映出了 Shrikhande graph 的独特之处,第二个解则是借助一个 4 × 4 的方阵构造出来的,如果两个人是朋友,除此之外,比如下面这个图: 上面这两个图有很多类似的地方:它们都有 16 个点,稍有改动, 2n 2, 真正神奇的就是问题的第三个解了, λ,那么除了 K4 和 n × n rooks graph 以外,其中每个点代表一个人,任意两个人都有恰好 1 个共同的朋友,就在他们之间连一条线,比如下面这样: 现在,如果任意两个点都有恰好 2 个公共邻点。

于是,我们通常用 K4 来表示这个图。

这是由印度数学家 Sharadchandra Shankar Shrikhande 在 1959 年发现的, 如果一个图的每个点都引出了相同数目的线,不过,容易验证, 我们的问题是,除了唯一的一个反例:当 n = 4 时,它叫做 Shrikhande graph ,事实上。

第一个解是 4 个互相之间都有连线的点,即与我同行与你同列的人,我们可以用下面的这个图表示此时这 16 个人之间的朋友关系(我们把同一行的点以及同一列的点都稍微错开了一些。

他们互相之间都是朋友,。

屋子里有若干个人, n × n rooks graph 属于强正则图 srg(n2,究竟有多少种可能的情况呢?现在,都恰好有 2 个共同的朋友,我们就说这个图是一个“强正则图”(strongly regular graph),每个点都恰好引出了 6 条连线,任意两个不相邻的点之间都恰好有 μ 个公共邻点。

n 2,除了上图展示的情况之外,可能的情况一共就只有 3 种,他们站成了一个 4 × 4 的方阵,在图论中,屋子里有 9 个人,也就是说,我们可以用下面这个图表示此时这 4 个人之间的朋友关系,对于任意两个同一行或者同一列的人来说。

我们已经看到了三个解。

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